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Im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik bezeichnen die Bell-Polynome, benannt nach Eric Temple Bell, folgende dreieckige Anordnung von Polynomen

B n , k ( x 1 , x 2 , … … , x n − − k + 1 ) = ∑ ∑ n ! j 1 ! j 2 ! ⋯ ⋯ j n − − k + 1 ! ( x 1 1 ! ) j 1 ( x 2 2 ! ) j 2 ⋯ ⋯ ( x n − − k + 1 ( n − − k + 1 ) ! ) j n − − k + 1 {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {n!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}\left({\frac {x_{1}}{1!}}\right)^{j_{1}}\left({\frac {x_{2}}{2!}}\right)^{j_{2}}\cdots \left({\frac {x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}}\right)^{j_{n-k+1}}} ,

wobei die Summe über alle Sequenzen j 1 , j 2 , … … , j n − − k + 1 {\displaystyle j_{1},j_{2},\dots ,j_{n-k+1}} von nicht-negativen ganzen Zahlen j i {\displaystyle j_{i}} gebildet wird, so dass

j 1 + j 2 + j 3 + ⋯ ⋯ = k {\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}+\cdots =k} und 1 j 1 + 2 j 2 + 3 j 3 + ⋯ ⋯ = n {\displaystyle 1\,j_{1}\;+\;2\,j_{2}\;+\;3\,j_{3}\;+\cdots =n} .

Das Bell-Polynom B n , k ( x 1 , x 2 , … … , x n − − k + 1 ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})} ist ein Polynom in den Variablen x 1 , x 2 , … … , x n − − k + 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1}} . Seine Koeffizienten sind ganze Zahlen.

• Vollständige Bell-Polynome

• Beispiele

• Rekursive Darstellungen

• Kombinatorische Bedeutung

• Eigenschaften

• Bell-Polynome und Stirling-Zahlen

• Faltungsidentität

• Anwendungen

• Formel von Faà di Bruno

• Momente und Kumulanten

• Darstellung von Polynomfolgen mit binomialer Eigenschaft

• Literatur

• Einzelnachweise

Die Summe

B n ( x 1 , … … , x n ) = ∑ ∑ k = 1 n B n , k ( x 1 , x 2 , … … , x n − − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}

wird manchmal als n {\displaystyle n} tes vollständiges Bell-Polynom bezeichnet. Zur besseren Abgrenzung gegenüber den vollständigen Bell-Polynomen, werden die oben definierten Polynome B n , k {\displaystyle B_{n,k}} auch manchmal als unvollständige oder partielle Bell-Polynome bezeichnet.

Die vollständigen Bell-Polynome genügen folgender Gleichung

B n ( x 1 , … … , x n ) = det [ x 1 ( n − − 1 1 ) x 2 ( n − − 1 2 ) x 3 ( n − − 1 3 ) x 4 ( n − − 1 4 ) x 5 ⋯ ⋯ x n − − 1 x 1 ( n − − 2 1 ) x 2 ( n − − 2 2 ) x 3 ( n − − 2 3 ) x 4 ⋯ ⋯ x n − − 1 0 − − 1 x 1 ( n − − 3 1 ) x 2 ( n − − 3 2 ) x 3 ⋯ ⋯ x n − − 2 0 0 − − 1 x 1 ( n − − 4 1 ) x 2 ⋯ ⋯ x n − − 3 0 0 0 − − 1 x 1 ⋯ ⋯ x n − − 4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ ⋯ − − 1 x 1 ] {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{\binom {n-1}{1}}x_{2}&{\binom {n-1}{2}}x_{3}&{\binom {n-1}{3}}x_{4}&{\binom {n-1}{4}}x_{5}&\cdots &\;\;x_{n}\\\\-1&x_{1}&{\binom {n-2}{1}}x_{2}&{\binom {n-2}{2}}x_{3}&{\binom {n-2}{3}}x_{4}&\cdots &\;\;x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{\binom {n-3}{1}}x_{2}&{\binom {n-3}{2}}x_{3}&\cdots &\;\;x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{\binom {n-4}{1}}x_{2}&\cdots &\;\;x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\;\;x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\;\;\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&\;\;x_{1}\end{bmatrix}}}

Die ersten vollständigen Bell-Polynome lauten:

B 0 = 1 , B 1 ( x 1 ) = x 1 , B 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 , B 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 3 + 3 x 1 x 2 + x 3 , B 4 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 4 + 6 x 1 2 x 2 + 4 x 1 x 3 + 3 x 2 2 + x 4 , B 5 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = x 1 5 + 10 x 1 3 x 2 + 15 x 1 x 2 2 + 10 x 1 2 x 3 + 10 x 2 x 3 + 5 x 1 x 4 + x 5 B 6 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ) = x 1 6 + 15 x 1 4 x 2 + 20 x 1 3 x 3 + 45 x 1 2 x 2 2 + 15 x 2 3 + 60 x 1 x 2 x 3 + 15 x 1 2 x 4 + 10 x 3 2 + 15 x 2 x 4 + 6 x 1 x 5 + x 6 , B 7 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) = x 1 7 + 21 x 1 5 x 2 + 35 x 1 4 x 3 + 105 x 1 3 x 2 2 + 35 x 1 3 x 4 + 210 x 1 2 x 2 x 3 + 105 x 1 x 2 3 + 21 x 1 2 x 5 + 105 x 1 x 2 x 4 + 70 x 1 x 3 2 + 105 x 2 2 x 3 + 7 x 1 x 6 + 21 x 2 x 5 + 35 x 3 x 4 + x 7 . {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{1}^{3}x_{2}+15x_{1}x_{2}^{2}+10x_{1}^{2}x_{3}+10x_{2}x_{3}+5x_{1}x_{4}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{1}^{4}x_{2}+20x_{1}^{3}x_{3}+45x_{1}^{2}x_{2}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{1}x_{2}x_{3}\\&{}+15x_{1}^{2}x_{4}+10x_{3}^{2}+15x_{2}x_{4}+6x_{1}x_{5}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}

Eine rekursive Definition der Bell-Polynome ist:

B 0 , 0 ( ) {\displaystyle B_{0,0}()} = 1 {\displaystyle =1} , B n , 0 ( x 1 , … … , x n + 1 ) {\displaystyle B_{n,0}(x_{1},\dots ,x_{n+1})} = 0 {\displaystyle =0} für n ≥ ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , B n , k ( x 1 , … … , x n − − k + 1 ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})} = 0 {\displaystyle =0} für n ≥ ≥ 0 , k > n {\displaystyle n\geq 0,k>n}

und

B n , k ( x 1 , … … , x n − − k + 1 ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})} = ∑ ∑ i = 1 n − − k + 1 ( n − − 1 i − − 1 ) B n − − i , k − − 1 ( x 1 , … … , x n − − i − − k + 2 ) x i {\displaystyle =\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\dots ,x_{n-i-k+2})\,x_{i}} für n ≥ ≥ 1 , k ≤ ≤ n {\displaystyle n\geq 1,k\leq n} .

Die vollständigen Bell-Polynome können folgendermaßen rekursiv definiert werden

B 0 ( x 1 , … … , x n + 1 ) = 1 {\displaystyle B_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=1}

und

B n + 1 ( x 1 , … … , x n + 1 ) = ∑ ∑ i = 0 n ( n i ) B n − − i ( x 1 , … … , x n − − i ) x i + 1 {\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})\,x_{i+1}} für n ≥ ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} .

Sie erfüllen auch die folgende rekursive Differentialformel: cite-ref-1[1]

B n ( x 1 , … … , x n ) = 1 n − − 1 [ ∑ ∑ i = 2 n ∑ ∑ j = 1 i − − 1 ( i − − 1 ) ( i − − 2 j − − 1 ) x j x i − − j ∂ ∂ B n − − 1 ( x 1 , … … , x n − − 1 ) ∂ ∂ x i − − 1 + ∑ ∑ i = 2 n ∑ ∑ j = 1 i − − 1 x i + 1 ( i j ) ∂ ∂ 2 B n − − 1 ( x 1 , … … , x n − − 1 ) ∂ ∂ x j ∂ ∂ x i − − j + ∑ ∑ i = 2 n x i ∂ ∂ B n − − 1 ( x 1 , … … , x n − − 1 ) ∂ ∂ x i − − 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}

Gegeben sei eine nicht-negative ganze Zahl n ∈ ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} als Elementeanzahl der zu partitionierenden Menge.

Wird die ganze Zahl (= eine Menge der Größe) n {\displaystyle n} in eine Summe von k {\displaystyle k} Summanden (= Partitionen) zerlegt, in der der Summand (= die Partitionsgröße) 1 j 1 {\displaystyle j_{1}} mal, die 2 j 2 {\displaystyle j_{2}} mal und der Summand i {\displaystyle i} j i {\displaystyle j_{i}} mal vorkommt, dann entspricht die Anzahl der möglichen Partitionierungen, die mit einer n {\displaystyle n} -elementigen Menge gebildet werden können, dem den k {\displaystyle k} Partitionsgrößen ( 1 , 2 , … … , k ) {\displaystyle (1,2,\dots ,k)} zuzuordnenden Koeffizienten des Monoms x 1 j 1 ⋯ ⋯ x k j k {\displaystyle x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{k}^{j_{k}}} im Bell-Polynom. B n , k {\displaystyle B_{n,k}} ist dann das Polynom aus allen Monomen mit dem Totalgrad k = j 1 + j 2 + j 3 + ⋯ ⋯ = k {\displaystyle k=j_{1}+j_{2}+j_{3}+\cdots =k} und der Mengengröße n = 1 j 1 + 2 j 2 + 3 j 3 + ⋯ ⋯ {\displaystyle n=1\,j_{1}\;+\;2\,j_{2}\;+\;3\,j_{3}\;+\cdots } .

Ein Exponent 1 wird normalerweise nicht notiert. Ist der Exponent 0, dann wird die ganze Potenz x i 0 {\displaystyle x_{i}^{0}} unterdrückt. Die größte Partitionsgröße bei k {\displaystyle k} Partitionen ist n − − k + 1 {\displaystyle n\!-\!k\!+\!1} , welche Partitionsgröße dann genau j n − − k + 1 = 1 {\displaystyle j_{n-k+1}=1} mal vorkommt. Die kleinste Partitionsgröße (= 1) kommt dann in dieser Partitionierung genau j 1 = k − − 1 {\displaystyle j_{1}=k-1} mal vor.

Die bevorzugte Reihenfolge der Monome im Bell-Polynom ist die lexikographisch aufsteigende mit niedrigstem Rang für x 1 {\displaystyle x_{1}} , also x 1 2 x 2 = x 1 x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}^{\,2}x_{2}=x_{1}x_{1}x_{2}} kommt vor x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}x_{2}} kommt vor x 2 {\displaystyle x_{2}} .

• B n , 1 ( x 1 , … … , x n ) = x n {\displaystyle B_{n,1}(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{n}} für n ≥ ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} .

• B n , k ( x 1 , … … , x n − − k + 1 ) = 0 {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})=0} für k > n {\displaystyle k>n} .

• B n , n ( x 1 , … … , x n − − k + 1 ) = x 1 n {\displaystyle B_{n,n}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})=x_{1}^{n}} für n ≥ ≥ 1 , k ≤ ≤ n {\displaystyle n\geq 1,k\leq n} .

• Ferner ist

B 6 , 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = 6 x 1 x 5 + 15 x 2 x 4 + 10 x 3 2 {\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{1}x_{5}+15x_{2}x_{4}+10x_{3}^{2}} ,

da es (Monom 6 x 1 x 5 ⟶ ⟶ {\displaystyle 6\,x_{1}x_{5}\longrightarrow } ) 6 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 2 {\displaystyle k=2} Partitionen mit 1 und 5 Elementen zu partitionieren, (Monom 15 x 2 x 4 ⟶ ⟶ {\displaystyle 15\,x_{2}x_{4}\longrightarrow } ) 15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 2 {\displaystyle k=2} Partitionen mit 2 und 4 Elementen zu partitionieren, und es (Monom 10 x 3 2 ⟶ ⟶ {\displaystyle 10\,x_{3}^{2}\longrightarrow } ) 10 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 2 {\displaystyle k=2} Partitionen mit 3 und 3 Elementen zu partitionieren.

• Ein weiteres Beispiel ist

B 6 , 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 15 x 1 2 x 4 + 60 x 1 x 2 x 3 + 15 x 2 3 {\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{1}^{2}x_{4}+60x_{1}x_{2}x_{3}+15x_{2}^{3}}

da es (Monom 15 x 1 2 x 4 ⟶ ⟶ {\displaystyle 15\,x_{1}^{2}x_{4}\longrightarrow } ) 15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 3 {\displaystyle k=3} Partitionen mit jeweils 1, 1 und 4 Elementen zu partitionieren, (Monom 60 x 1 x 2 x 3 ⟶ ⟶ {\displaystyle 60\,x_{1}x_{2}x_{3}\longrightarrow } ) 60 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 3 {\displaystyle k=3} Partitionen mit jeweils 1, 2 und 3 Elementen zu partitionieren, und es (Monom 15 x 2 3 ⟶ ⟶ {\displaystyle 15\,x_{2}^{3}\longrightarrow } ) 15 Möglichkeiten gibt, eine Menge mit n = 6 {\displaystyle n=6} Elementen zu k = 3 {\displaystyle k=3} Partitionen mit jeweils 2, 2 und 2 Elementen zu partitionieren.

• B n , k ( 1 ! , 2 ! , … … , ( n − − k + 1 ) ! ) = ( n k ) ( n − − 1 k − − 1 ) ( n − − k ) ! {\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!}

Der Wert des Bell-Polynoms B n , k ( x 1 , x 2 , … … ) {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots )} , wenn alle x i {\displaystyle x_{i}} gleich 1 sind, ist eine Stirling-Zahl zweiter Art

B n , k ( 1 , 1 , … … ) = S ( n , k ) = { n k } {\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}} .

Die Summe

∑ ∑ k = 1 n B n , k ( 1 , 1 , 1 , … … ) = ∑ ∑ k = 1 n { n k } {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}

entspricht der n {\displaystyle n} ten Bellzahl, welche die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge mit n {\displaystyle n} Elementen beschreibt.

Für Folgen ( x n ) n = 1 , 2 , … … {\displaystyle (x_{n})_{n=1,2,\dotsc }} und ( y n ) n = 1 , 2 , … … {\displaystyle (y_{n})_{n=1,2,\dotsc }} lässt sich eine Art Faltung definieren:

( x ⋄ ⋄ y ) n = ∑ ∑ j = 1 n − − 1 ( n j ) x j y n − − j {\displaystyle (x\diamond y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\binom {n}{j}}x_{j}y_{n-j}} ,

wobei die Grenzen der Summe 1 {\displaystyle 1} und n − − 1 {\displaystyle n-1} anstelle von 0 {\displaystyle 0} und n {\displaystyle n} sind.

Sei x n k ⋄ ⋄ {\displaystyle x_{n}^{k\diamond }} der n {\displaystyle n} te Term der Folge

x ⋄ ⋄ ⋯ ⋯ ⋄ ⋄ x ⏟ ⏟ k F a k t o r e n {\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamond \cdots \diamond x} _{k\ \mathrm {Faktoren} }} ,

dann gilt:

B n , k ( x 1 , … … , x n − − k + 1 ) = x n k ⋄ ⋄ k ! {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamond } \over k!}} .

Die Faltungsidentität kann benutzt werden um einzelne Bell-Polynome zu berechnen. Die Berechnung von B 4 , 3 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})} ergibt sich mit

x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … … ) {\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}

x ⋄ ⋄ x = ( 0 , 2 x 1 2 , 6 x 1 x 2 , 8 x 1 x 3 + 6 x 2 2 , … … ) {\displaystyle x\diamond x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}

x ⋄ ⋄ x ⋄ ⋄ x = ( 0 , 0 , 6 x 1 3 , 36 x 1 2 x 2 , … … ) {\displaystyle x\diamond x\diamond x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}

und dementsprechend,

B 4 , 3 ( x 1 , x 2 ) = ( x ⋄ ⋄ x ⋄ ⋄ x ) 4 3 ! = 6 x 1 2 x 2 . {\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamond x\diamond x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}

→

Hauptartikel

:

Formel von Faà di Bruno

Die Formel von Faà di Bruno kann mithilfe der Bell-Polynome wie folgt ausdrückt werden:

d n d x n f ( g ( x ) ) = ∑ ∑ k = 0 n f ( k ) ( g ( x ) ) B n , k ( g ′ ( x ) , g ″ ( x ) , … … , g ( n − − k + 1 ) ( x ) ) . {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}

Auf ähnliche Art und Weise lässt sich eine Potenzreihen-Version der Formel von Faà di Bruno aufstellen. Angenommen

f ( x ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n n ! x n u n d g ( x ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ b n n ! x n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad \mathrm {und} \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}

Dann

g ( f ( x ) ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ ∑ ∑ k = 1 n b k B n , k ( a 1 , … … , a n − − k + 1 ) n ! x n . {\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.}

Die vollständigen Bell-Polynome tauchen in der Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe auf:

exp ⁡ ⁡ ( ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n n ! x n ) = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ B n ( a 1 , … … , a n ) n ! x n {\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}{n!}}x^{n}} .

Die Summe

B n ( κ κ 1 , … … , κ κ n ) = ∑ ∑ k = 1 n B n , k ( κ κ 1 , … … , κ κ n − − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}

ist das n {\displaystyle n} te Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren erste n {\displaystyle n} Kumulanten κ κ 1 , … … , κ κ n {\displaystyle \kappa _{1},\dots ,\kappa _{n}} sind. Anders ausgedrückt ist das n {\displaystyle n} te Moment das n {\displaystyle n} te vollständige Bell-Polynom ausgewertet an den n {\displaystyle n} ersten Kumulanten.

Für eine beliebige (skalare) Folge : a 1 , a 2 , a 3 , … … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots } sei

p n ( x ) = ∑ ∑ k = 1 n B n , k ( a 1 , … … , a n − − k + 1 ) x k {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}} .

Diese Polynomfolge erfüllt die binomiale Eigenschaft, d. h.

p n ( x + y ) = ∑ ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}

für n ≥ ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} . Es gilt, dass alle Polynomfolgen, welche die binomiale Eigenschaft erfüllen, von dieser Form sind.

Für die Inverse h − 1 {\displaystyle h^{-1}} der Komposition der formalen Potenzreihe

h ( x ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n n ! x n {\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}

ergibt sich für alle n {\displaystyle n}

h − − 1 ( p n ′ ′ ( x ) ) = n p n − − 1 ( x ) {\displaystyle h^{-1}{\bigl (}p_{n}^{\prime }(x){\bigr )}=np_{n-1}(x)}

mit den obigen Polynomen p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} mit Koeffizienten in a 1 , … … , a n − − k + 1 {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n-k+1}} .

• Eric Temple Bell: Partition Polynomials. In: Annals of Mathematics. Band 29, Nr. 1/4, 1927, S. 38–46, doi:10.2307/1967979, JSTOR:1967979.

• Louis Comtet: Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland / Boston, U.S. 1974.

• Steven Roman: The Umbral Calculus. Academic Press, 1984, ISBN 0-08-087430-4 (123library.org).

• Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin: On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications. In: Kybernetika. Band 30, Nr. 3, 1994, ISSN 0023-5954, S. 343–358 (kybernetika.cz [PDF]).

• George Andrews: The Theory of Partitions (= Cambridge Mathematical Library). 1. Auflage. Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-63766-X, S. 204–211.

• Silvia Noschese, Paolo E. Ricci: Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials. In: Journal of Computational Analysis and Applications. Band 5, Nr. 3, 2003, S. 333–340, doi:10.1023/A:1023227705558.

• Moncef Abbas, Sadek Bouroubi: On new identities for Bell’s polynomial. In: Disc. Math. Band 293, 2005, S. 5–10, doi:10.1016/j.disc.2004.08.023.

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